LissajouZ – Epiciclos Harmônicos & Visualizador de Espaço de Fase de Lissajous
Compositor interativo de epiciclos de Fourier ptolemaicos e simulador de espaço de fase elétrico (V, I) com cálculo de área pelo teorema de Green e síntese DFT em tempo real.
🌐 Aplicativo Web ao Vivo: lissajouz.jeduapf.com — Ferramenta interativa gratuita, 100% no navegador, sem necessidade de instalação!
🌀 Explore a Geometria Harmônica com o LissajouZ!
O LissajouZ é um visualizador matemático e físico interativo de última geração dedicado aos epiciclos de Fourier ptolemaicos, às curvas de Lissajous e à dinâmica do espaço de fase elétrico \((v, i)\).
Seja estudando séries de Fourier complexas, distorção harmônica no Ponto de Acoplamento Comum (PAC/PCC) de redes elétricas ou geometria de ressonância, o LissajouZ fornece um laboratório intuitivo para compor cadeias de fasores rotativos, rastrear órbitas fechadas e calcular invariantes analíticos exatos em tempo real.
⚡ Por que escolher o LissajouZ?
- 🔄 Cadeias de Epiciclos Complexos Ponta-a-Ponta: Conecte braços rotativos ptolemaicos com ordens harmônicas \(k\), raios \(r_k\), ângulos de fase \(\theta_k\) e taxas de amortecimento / crescimento \(\sigma_k\) totalmente configuráveis.
- ⚡ Espaço de Fase Elétrico \((V, I)\) & Impedância de Rede (PCC) : Alterne fluidamente entre a representação mecânica e os fasores elétricos simétricos com decomposição de Fortescue. Modele a impedância de rede \(Z_{\text{grid}} = R_g + j \cdot k\omega_0 L_g\) para observar laços de potência reativa, distorção harmônica total (THD) e deformações causadas por cargas não-lineares.
- 📈 Osciloscópio Temporal Sincronizado: Canal duplo no domínio do tempo exibindo as formas de onda de \(v(t)\) e \(i(t)\) em sincronia precisa com o movimento no plano de fase.
- ✏️ Desenho Livre Convertido em Epiciclos via DFT Planar: Desenhe qualquer contorno livremente na tela! O app aplica automaticamente parametrização por comprimento de arco, reamostragem uniforme (\(N = 256\)) e a Transformada Discreta de Fourier (DFT) 2D complexa para sintetizar a cadeia de epiciclos equivalente.
- 📐 Painel de Invariantes Matemáticos Exatos: Avaliação em tempo real do período de fechamento do ciclo \(T_{\text{cycle}}\), contagem de auto-interseções da curva e cálculo exato da área orientada delimitada \(\oint v\,di\) pelo teorema de Green.
- 📱 Experiência Responsiva e Touch: Gestos touch fluidos (arrastar com 1 dedo para transladar / desenhar, pinça com 2 dedos para zoom), menu lateral retrátil em smartphones e alta legibilidade em telas 4K.
- 📖 Guia Teórico & Deduções Integrado: Demonstrações analíticas completas formatadas em KaTeX abrangendo epiciclos de Fourier, integrais de área de Green, dinâmica de impedância de rede e síntese DFT.
🔬 Formulação Matemática & Técnica
1. Série de Epiciclos Complexos
Uma trajetória planar no espaço \(\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2\) é modelada como a superposição de fasores rotativos:
\[z(t) = v(t) + j \cdot i(t) = \sum_{k \in \mathcal{K}} c_k e^{(\sigma_k + j \cdot k \cdot \omega_0) t}\]onde \(c_k = r_k e^{j\theta_k}\), \(k \in \mathbb{Z}\) representa a ordem do harmônico e \(\omega_0 = 2\pi / T_0\) é a frequência angular fundamental.
2. Período de Fechamento & Ressonância
Para trajetórias sem amortecimento (\(\sigma_k = 0\)), a órbita se fecha periodicamente se e somente se as razões de frequência forem racionais:
\[T_{\text{cycle}} = \frac{2\pi}{\omega_0 \cdot \gcd(k_1, k_2, \dots, k_N)}\]3. Área Orientada Delimitada pelo Teorema de Green
Através do teorema de Green e da ortogonalidade complexa, a área delimitada é calculada analiticamente em forma fechada:
\[\mathcal{A} = \oint_\gamma v \, di = \frac{1}{2j} \oint_\gamma (\bar{z} \, dz - z \, d\bar{z}) = \pi \sum_{k} k |c_k|^2 = \pi \sum_k k r_k^2\]Cada braço harmônico contribui com uma área orientada independente proporcional à sua ordem \(k\) e ao quadrado do raio \(r_k^2\).
4. Impedância de Rede no Ponto de Acoplamento Comum (PCC)
A deformação de tensão originada pelas correntes harmônicas que fluem pela impedância \(Z_{\text{grid}}(k) = R_g + j \cdot k\omega_0 L_g\) satisfaz:
\[v_{\text{pcc}}(t) = v_{\text{grid}}(t) - R_g i(t) - L_g \frac{di(t)}{dt}\]A área do laço no plano \((v, i)\) é proporcional à potência reativa \(\mathcal{Q} = \frac{\omega_0}{\pi} \mathcal{A}\).
5. Transformada Discreta de Fourier (DFT) Planar
Ao desenhar uma curva na tela, os pontos amostrados \(\{z_n = x_n + j y_n\}_{n=0}^{N-1}\) são transformados em epiciclos via DFT complexa:
\[c_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} (x_n + j y_n) \exp\left( -j \frac{2\pi k n}{N} \right), \quad k \in [-K_{\max}, K_{\max}]\]🚀 Experimente o LissajouZ gratuitamente agora mesmo em lissajouz.jeduapf.com!
#Lissajous #Epiciclos #SeriesDeFourier #EspacoDeFase #EngenhariaEletrica #ImpedanciaDeRede #DFT #Harmonicas #ProcessamentoDeSinais #KaTeX #VisualizacaoDeDados #Vite